|
Logarithmen
Wat kun je ermee?
Zonder al teveel op de theorie in te gaan, wil ik hier iets vertellen over een nuttige rekenhulp, die door de komst van de zakjapanners bijna verdwenen is.
Wat is een logarithme?
Een logarithme is een exponent. 10p betekent 10 tot de macht p waarbij p de exponent is. We kunnen elk getal uitdrukken als machten van 10. Dat lijkt misschien moeilijk maar is het niet. Als we de reeks 10, 100, 1000, enz bekijken zouden we net zo goed kunnen ,schrijven:101,102,103, enz.
Een paar honderd jaar geleden zijn de logarithmen berekend dmv allerlei ingewikkelde reeksen. John Napier was de grondlegger, maar hij baseerde zijn logarithmen op het natuurlijke getal e. (2,7818...); zijn landgenoot transformeerde de tabellen naar tabellen met het getal 10 als het zg grondtal. Je zou ook het getal 2 als grondtal kunnen nemen en dan krijg je een reeks als 2, 4, 8, 16, 32, 64 enz
Het getal 10 is erg bruikbaar gebleken en daar wil ik wat nader op in gaan.
Volgens de tabellenboekjes krijgen we voor de getallen 1 tot en met 10 de volgende logarithmen: schrijfwijze log(1 ....10)
(Onderaan deze pagina is een rekenmachine te vinden die ook logarithmen kan bepalen)
|
1
|
0 |
6 |
0,77815 |
| 2 |
0,30103 |
7 |
0,84510 |
| 3 |
0,47712 |
8 |
0,90309 |
| 4 |
0,60206 |
9 |
0,95424 |
| 5 |
0,69897 |
10 |
1 |
We zien meteen dat als we log(2) en log(5) bij elkaar optellen we de som=1 krijgen,
want 2=100,30103 en 5=100,69897 bij vermenigvuldiging tellen we de exponenten bij elkaar op en ziedaar het antwoord. Dit foefje werd lange tijd gebruikt bij de zg rekenlineaal, een lineaal met speciale maatverdeling waarmee je vanalles kon uitrekenen.
Mij werd eens gevraagd: kun je uit je hoofd uitrekenen wat 310 is? Dat lijkt lastig maar als je bovenstaand rijtje in het hoofd hebt moet het niet moeilijk zijn: log(3)= 0,47712; dus 10 x log(3) = 4,7712 waarop ik zei dat het antwoord iets onder de 60 duizend moest liggen. En inderdaad:59049.
Ruwe benadering
Stel, we hebben geen rekenmachine voorhanden en ook geen tabellenboek. Hoe kom ik dan aan een ruwe schatting van de logarithmen? We weten het kwadraat van 32 (25): 210 = 1024 oftewel iets groter dan 1000. Maw 10 x log(2) = 103,... en log(2) moet dan iets meer dan 0,3 zijn. Log(5) is dan iets minder dan 0,7 (1 - 0,301); log(4) =2 x 0,3 = 0,6 ; log(8) = 3 x 0,3 ; log(81) is iets meer dan 1,9 en log(9) dus de helft = 0,95 --> log(3)=0,95/2 = 0,475. log(21)=1,301 en log(7) =1,301 - 0,475 = 0,826.
Dit is nogal een ruwe benadering en daarom is het handig om een paar logarithmen te onthouden, bv log(2) = 0,3010 en log(3) = 0,4771. Met deze twee getallen kunnen we een veel betere tabel samenstellen. Uit log(2) en log(3) volgen de logs van 4, 5, 6, 8 en 9. Log(7) kunnen we op verschillende manieren berekenen bv log(21) - log(3) of log(64) - log(9).
En dan kunnen we doorgaan: log(19) volgt uit log(360)/2, log(17) volgt uit 2 x log(13) enz.
Dus in onze vakantiebungalow of tent kunnen we toch naar hartelust rekenen. We maken grote getallen klein door de logarithme te nemen en kunnen bij benadering bepalen wat het antwoord moet zijn.
Voorbeeld 512 x 4096 / 36 = (9 x log(2) + 12 x log(2)) - ( 2 x log(2) +2 x log(3)) = 19 x log(2) - 2 x log(3) = 19 x 0,3010 - 2 x 0,4771 =5,719 - 0,9542 = 4,7648. Als we hier de antilog van bepalen komen we op ongeveer 60000 uit.
(De 4 voor de comma noemen we de wijzer en geeft het aantal nullen aan; wat achter de comma staat noemen we de mantisse)
Veel succes!
Vragen? Neem even contact op.
Scientific calculator
|
Rekenen
